高校数学.複素数（数学Ⅱ）

ω3+3ω2+3ω+1=1+3(−ω−1)+3ω+1
=1−3+3ω−3+3ω+1=−1…（答） →解説を隠す←

(5)
ω2n+ωn+1（nは正の整数）
ア)　n=3k （kは正の整数）のとき

ω6k+ω3k+1=(ω3)2k+(ω3)k+1
=1+1+1=3…（答） →解説を隠す←

（続き）
イ)　n=3k+1, 3k+2 （kは正の整数）のとき

イ)
その1) n=3k+1 （kは正の整数）のとき
ω6k+2+ω3k+1+1
=ω6kω2+ω3kω+1
=ω2+ω+1=0
その2) n=3k+2 （kは正の整数）のとき
ω6k+4+ω3k+2+1
=ω6k+3ω+ω3kω2+1
=ω+ω2+1=0
いずれの場合でも
=0 …（答） →解説を隠す←

(3)
　−１の虚数３乗根の１つをαとするとき
α10−α5+1=

αは−1の虚数3乗根だから
α3=−1　（α≠−1）…(A)
この式を因数分解すると
α3+1=0
(α2−α+1)(α+1)=0
α≠−1だから
α2−α+1=0…(B)
(A)(B)を用いて，原式の次数を下げて計算する
α10−α5+1=α3α3α3α−α3α2+1
=(−1)(−1)(−1)α−(−1)α2+1
=α2−α+1=0 …（答） →解説を隠す←

(4)
　１の虚数５乗根の１つをαとし， $\beta=\alpha+\frac{1}{\alpha}$ とするとき
β2+β=

採点するやり直す解説を読む

αは1の虚数5乗根だから
α5=1　（α≠1）…(A)
この式を因数分解すると
α5−1=0
(α4+α3+α2+α+1)(α−1)=0
α≠1だから
α4+α3+α2+α+1=0…(B)
この式を変形する.両辺をα2 (≠0)で割る
$\alpha^2+ \alpha+ 1+\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^2}=0$
$(\alpha+\frac{1}{\alpha})^2-2+ 1+ \alpha+\frac{1}{\alpha}=0$
$\beta^2-2+ 1+ \beta=0$
$\beta^2+ \beta=1$ …（答） →解説を隠す←

■問題３　…　（少しむずかしい）
　 $\omega$ を１の３乗根の１つとするとき，次の式の値を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\omega^7+ \frac{1}{\omega^7}$

$1$ $2$ $\frac{1}{2}$ $-1$ $-2$ $-\frac{1}{2}$

$\omega^7=\omega^6\times \omega=(\omega^3)^2\times\omega=1^2\times\omega=\omega$
だから
$\omega^7+\frac{1}{\omega^7}=\omega+\frac{1}{\omega}$ …(*1)

※次の変形も考えられる
$\omega+\frac{1}{\omega}=\omega+\frac{\omega^2}{\omega^3}$
$=\omega+ \omega^2$
$=-1$

ここで（上の教材で「急行券」と書いてある式）
$\omega^2 +\omega+ 1=0$
の両辺を $\omega$ で割ると
$\omega + 1 + \frac{1}{\omega}=0$
$\omega + \frac{1}{\omega}=-1$ …(*2)
(*2)→(*1)
$\omega^7+\frac{1}{\omega^7}=-1$ …（答）

(2)
$\omega^8+ \frac{1}{\omega^8}$

$1$ $2$ $\frac{1}{2}$ $-1$ $-2$ $-\frac{1}{2}$

$\omega^8=\omega^6\times \omega^2=(\omega^3)^2\times\omega^2=1^2\times\omega^2=\omega^2$
だから
$\omega^8+\frac{1}{\omega^8}=\omega^2+\frac{1}{\omega^2}$
$=\omega^2+\frac{\omega}{\omega^3}$
$=\omega^2+ \omega$
$=-1$ …（答）

(3)
$n$ が正の整数のとき $\omega^n+ \frac{1}{\omega^n}$ の値は
ア） $n=3k\hspace{10}(k=1,2,3,\hspace{3}\cdots)$ のとき， $2$
イ） $n=3k+ 1,\hspace{3}3k+ 2\hspace{10}(k=0,1,2,\hspace{3}\cdots)$ のとき，(次の値から選んでください)

$1$ $2$ $\frac{1}{2}$ $-1$ $-2$ $-\frac{1}{2}$

ア） $n=3k\hspace{10}(k=1,2,3,\hspace{3}\cdots)$ のとき，
$\omega^n=(\omega^3)^k=1^k=1$
だから
$\omega^n+\frac{1}{\omega^n}=1+ 1=2$
イ）i) $n=3k+ 1\hspace{10}(k=0,1,2,\hspace{3}\cdots)$ のとき，
$\omega^n=\omega^{3k+ 1}=(\omega^3)^k\times\omega=1^k\times\omega=\omega$
だから
$\omega^n+\frac{1}{\omega^n}=\omega+\frac{1}{\omega}=\omega+\frac{\omega^2}{\omega^3}=\omega+ \omega^2=-1$
　ii) $n=3k+ 2\hspace{10}(k=0,1,2,\hspace{3}\cdots)$ のとき，
$\omega^n=\omega^{3k+ 2}=(\omega^3)^k\times\omega^2=1^k\times\omega^2=\omega^2$
だから
$\omega^n+\frac{1}{\omega^n}=\omega^2+\frac{1}{\omega^2}=\omega^2+\frac{\omega}{\omega^3}=\omega^2+ \omega=-1$
したがって，
$n=3k+ 1,\hspace{3}3k+ 2\hspace{3}(k=0,1,2,\hspace{3}\cdots)$ のとき， $-1$ …（答）

(4)
$\frac{\omega^{10}}{\omega^{10}+ 1}$
の値に等しいものを次の中から選んでください

$1$ $-1$ $\omega$ $-\omega$ $\omega^2$ $-\omega^2$

$\omega^{10}=(\omega^3)^3\times \omega=1^3\times\omega=\omega$
だから
$\frac{\omega^{10}}{\omega^{10}+ 1}=\frac{\omega}{\omega+ 1}$
ここで
$\omega^2+\omega+ 1=0$
だから
$\omega+ 1=-\omega^2$
したがって
$\frac{\omega}{\omega+ 1}=\frac{\omega}{-\omega^2}=-\frac{1}{\omega}=-\frac{\omega^2}{\omega^3}=-\omega^2$ …（答）

(5)
$\frac{\omega^{11}}{\omega^{11}+ 1}$
の値に等しいものを次の中から選んでください

$1$ $-1$ $\omega$ $-\omega$ $\omega^2$ $-\omega^2$

$\omega^{11}=(\omega^3)^3\times \omega^2=1^3\times\omega^2=\omega^2$
だから
$\frac{\omega^{11}}{\omega^{11}+ 1}=\frac{\omega^2}{\omega^2+ 1}$
ここで
$\omega^2+\omega+ 1=0$
だから
$\omega^2+ 1=-\omega$
したがって
$\frac{\omega^2}{\omega^2+ 1}=\frac{\omega^2}{-\omega}=-\omega$ …（答）

(6)
$n$ が正の整数のとき $\frac{\omega^n}{\omega^{2n}+ 1}$ の値は
ア） $n=3k\hspace{10}(k=1,2,3,\hspace{3}\cdots)$ のとき， $\frac{1}{2}$
イ） $n=3k+ 1,\hspace{3}3k+ 2\hspace{10}(k=0,1,2,\hspace{3}\cdots)$ のとき，(次の値から選んでください)

$1$ $-1$ $\omega$ $-\omega$ $\omega^2$ $-\omega^2$

ア） $n=3k\hspace{10}(k=1,2,3,\hspace{3}\cdots)$ のとき，
$\omega^n=(\omega^3)^k=1^k=1$
だから
$\frac{\omega^n}{\omega^{2n}+ 1}=\frac{1}{2}$
イ）i) $n=3k+ 1\hspace{10}(k=0,1,2,\hspace{3}\cdots)$ のとき，
$\omega^n=\omega^{3k+ 1}=(\omega^3)^k\times\omega=1^k\times\omega=\omega$
だから
$\frac{\omega^n}{\omega^{2n}+ 1}=\frac{\omega^n}{(\omega^{n})^2+ 1}=\frac{\omega}{\omega^{2}+ 1}=\frac{\omega}{-\omega}=-1$
　ii) $n=3k+ 2\hspace{10}(k=0,1,2,\hspace{3}\cdots)$ のとき，
$\omega^n=\omega^{3k+ 2}=(\omega^3)^k\times\omega^2=1^k\times\omega^2=\omega^2$
だから
$\frac{\omega^n}{\omega^{2n}+ 1}=\frac{\omega^n}{(\omega^{n})^2+ 1}=\frac{\omega^2}{\omega^{4}+ 1}=\frac{\omega^2}{\omega + 1}=\frac{\omega^2}{-\omega^2}=-1$
したがって，
$n=3k+ 1,\hspace{3}3k+ 2\hspace{3}(k=0,1,2,\hspace{3}\cdots)$ のとき， $-1$ …（答）