高校数学.複素数（数学Ⅱ）

【高校数学の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式　 • 根号計算 　• 場合の数.順列.組合せ 　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 　• 正弦定理,余弦定理 《数学Ⅱ・Ｂ》 • 指数関数.対数関数　 • 複素数　 • 微分・積分　 《高校数学Ⅱ / 複素数の目次》　　　 が現在地 • 複素数の定義　 • 複素数の計算　 • 複素数の計算規則 • 複素数の対称式，値の代入 • 複素数のいろいろな問題　 • １の虚数3乗根ω　 • 実係数方程式の虚数解　 ♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，複素数の定義の「マイナーチェンジありカバー版」「広告なし」「パソコン用」ページです． ♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 複素数の定義 == ■複素数とは（負の数の平方根と虚数・複素数） 　中学校ではx2=−1のような２次方程式の解は考えない 中学校で扱う数は実数と呼ばれ、数直線上に表示されるもので、２乗すれば必ず0以上になる。このため、中学校で扱う数の範囲ではx2の値が「負の数」となるようなものはない。 　高校の数学IIでは x2+1=0 すなわち x2=−1 …(1) のような２次方程式、さらに a(x−p)2+q=0 すなわち a(x−p)2=−q …(2) のような２次方程式、一般に任意の実数a , b , cに対して２次方程式 ax2+bx+c=0 (a≠0) …(3) の解を考えるために「負の数の平方根」「虚数」を導入する。

■中学校では扱わない２次方程式 　次のような２次方程式は中学校では扱わない。 (1)　x2+2=0 …(1) (1)はx2=−2 と変形できるから、２乗が−2となる数が必要となる。 (2)　x2−2x+5=0 (2)は(x−1)2=−4 と変形できるから、２乗が−4となる数が必要となる。 (3)　一般に、ax2+bx+c=0 (a≠0)の形でa , b , cの値を不用意に指定したとき、例えば 2x2+12x+23=0 は 2(x2+6x)+23=0 すなわち 2(x+3)2=−5 になり、その解を示すには２乗が負となる数を必要とするので、中学校で扱う数の範囲（実数の範囲）に解はない。

■虚数単位iの導入 　根号を用いて２次方程式を解くには、x2=a⇒x=±という変形を行う。 　これによりx2=−1を解くと、x=±のように根号の中が負である数が登場する。 　同様にして、x2=−2　⇒　x=± x2=−3　⇒　x=± となるが、「負の数の平方根」を表す記号を１つずつ作らなくても１つだけi=と定めると、他の負の数の平方根はすべてこのiで表すことができる。	■虚数単位i=を定義すると、負の数の平方根はすべてこの虚数単位で表すことができる。 (1)　−=−i (2)　=== i (3)　===i (4)　===2i (5)　===i (6)　==×= i
【虚数単位iの定義】 　x2=−1の１つの解を虚数単位といい、iで表す。 すなわち i= …(1) i2=−1 …(2) 　さらに、x2−2x+5=0すなわち(x−1)2=−4のような２次方程式についても x−1=± x−1=±2i x=1±2i 　一般に２次方程式を解くと、 (x−p)2=−q ⇒ x−p=± x=p± の形の数が登場する。（p , qは実数） 　そこでa+bi　（a , bは実数）の形の数を考えれば、すべての２次方程式の解を表すことができる。このa+bi　（a , bは実数）の形の数を複素数といい、aを実部、bを虚部という。

【複素数の定義】 　a+bi　（a , bは実数）の形の数を複素数といい、aを実部、bを虚部という。（２つの要素から成り立っている数･･･複素数） 　複素数のうちで、特にb=0のものを実数という。 例　5+0iすなわち5は実数 　これに対してb≠0のものを虚数という。 例　5−3iは虚数 　複素数のうちで、特にa=0のものを純虚数という。 例　0+3iすなわち3iは純虚数 ※a+biのa, bのうちで，ない方（=0の方）は書かずに省略するのが普通 虚部が0のもの，例えば5+0iは単に5と書く． 実部が0のもの，例えば0+5iは単に5iと書く． 　これに対して，実部も虚部も両方とも0のもの，すなわち0+0iは単に0と書く．（0iは0なのでけんかにならない⇒右図参照）

それでいいのだ～♪

【複素数の計算規則】 　虚数単位iを含む式の和差積商については、次の計算規則に従って計算する。 ○　iを含む式は、通常の文字式におけるa, b , c, x, yなどと同じように同類項の係数をまとめたり、和差積商の計算を行ったりすることができる。 （これだけでは、虚数単位の定義はどこへ行ったのか？と疑問を持つ人がいるかもしれないが、iについては通常の文字と異なる次の規則を追加する） ○　i2が登場すれば、−1に置き換える。

例 文字式 iを含む式 2a+3a=5a 2i+3i=5i (2x+3y)+(x+4y)=3x+7y (2+3i)+(1+4i)=3+7i (x+2)2=x2+4x+4 (i+2)2=i2+4i+4 例 i2+4i+4=−1+4i+4=3+4i i3=i2·i=−i i4=i2·i2=(−1)(−1)=1 これは、上記のi3の結果を使って次のように計算しても同じになる。 i4=i3·i=(−i)i=−i2=1 i5=i2·i2·i=(−1)(−1)i=i

例 (1+2i)+(3+4i)=4+6i (1+2i)−(5+7i)=−4−5i (1+2i)(1−3i)=1−i−6i2=1−i+6=7−i

i8=i2·i2·i2·i2=(−1)(−1)(−1)(−1)=1 i33=(i2)16i=(−1)16i=i = = =−i ※ iを含む式は、最終的にa+bi (a, bは実数)の形になるように変形する <