高校数学.複素数（数学Ⅱ）

複素数の対称式，値の代入

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 複素数　 • 微分・積分　

《高校数学Ⅱ / 複素数の目次》　　　が現在地 • 複素数の定義　 • 複素数の計算　 • 複素数の計算規則 • 複素数の対称式，値の代入 • 複素数のいろいろな問題　 • １の虚数3乗根ω　 • 実係数方程式の虚数解　

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，複素数の対称式，値の代入の「マイナーチェンジありカバー版」「広告なし」「パソコン用」ページです．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

■複素数の対称式，値の代入

【対称式の値】
　x2+y2, x2y+xy2などのように文字x, yを入れ替えても式の値が変わらないものを対称式といいます．
　２文字x, yの対称式の値を求めるときは，基本対称式x+yとxyで表すようにすると，簡単になり，間違いにくくなります．

【例題１】
x=2+ $\sqrt{3}$ i, y=2− $\sqrt{3}$ iのとき， $\frac{y}{x}$ + $\frac{x}{y}$ の値を求めてください．

「力まかせに代入」するのではなく，基本対称式x+yとxyで表すようにします．

（解答）
　x+y=4, xy=7だから

$\frac{y}{x}$ + $\frac{x}{y}$ = $\frac{x^2+ y^2}{xy}$ = $\frac{(x+ y)^2-2xy}{xy}$ = $\frac{16-14}{7}$ = $\frac{2}{7}$

○　２文字x, yの場合に基本対称式x+yとxyで表す変形の例

x2+y2=(x+y)2−2xy
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y)((x+y)2−3xy)

$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{x y}{xy}$

【例題２】

x= $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ , y= $\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$ のとき，x3+y3の値を求めてください．

（解答）
x+y= $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ + $\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$ = $\frac{2}{2}$ =1,

xy= $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ $\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$ = $\frac{1-3i^2}{4}$ = $\frac{1+ 3}{4}$ =1

だから

x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y){(x+y)2−3xy}
=1·(1−3)=−2

○　「x= $\frac{3+ \sqrt{7}i}{2}$ のとき，x4−x3+x2+x+9の値は？」
というような問題の場合において，力まかせにx4，x3などの値を求めようとすると計算量が多くなり，間違いやすくなります．

　このような問題では，

(1) x= $\frac{3+ \sqrt{7}i}{2}$ が満たす方程式を作る．
(2) 方程式の左辺で割り算して商と余りに分ける．
(3) 求めるべき式の次数を下げてから代入する．

という手順を踏むのが定石となっています．

（右の解説について：補足説明）
(1)

この変形では⇒のところで同値関係が崩れていることに注意．すなわち，x= $\frac{3+ \sqrt{7}i}{2}$ ならばx2−3x+4=0は成り立ちますが，x2−3x+4=0ならば，必ずしもx= $\frac{3+ \sqrt{7}i}{2}$ とは言えず，x= $\frac{3-\sqrt{7}i}{2}$ の場合もあります．
通常，２乗すれば同値関係が崩れます．
それゆえに，x2−3x+4=0の左辺は求める式の次数を下げることには利用できますが，それだけでは答案は完成できず，どちらの解であるのかを使わなければならないことがあります．
たとえば，x= $\frac{3-\sqrt{7}i}{2}$ ならば，途中までは同じ答案になりますが，最後にxの値を代入したときに結果が変わります．

(2)

x2−3x+4が0になるのなら，この変形は0で割っているのではないかという疑問について
(2)の変形は「恒等式としての変形で，どのようなxに対しても成り立ちます．」すなわち，(2)において「割り算」ではなく掛け算の式を見る限り，矛盾はありません．

(3)

x4−x3+x2+x+9はつねに2x−3に等しいと言えるのかという疑問について
⇒そんなことはありません．この変形ができるのはx2−3x+4=0すなわち

x= $\frac{3+ \sqrt{7}i}{2}$ またはx= $\frac{3-\sqrt{7}i}{2}$ のときだけです．他の値については他の式を使わなければなりません．

【例】

(1) x= $\frac{3+ \sqrt{7}i}{2}$ ⇔ 2x=3+ $\sqrt{7}$ i ⇔ 2x−3= $\sqrt{7}$ i
⇒ (2x−3)2=7i2 ⇔ 4x2−12x+9=−7
⇔ 4x2−12x+16=0 ⇔ x2−3x+4=0
(2) x4−x3+x2+x+9=(x2−3x+4)(x2+2x+3)+2x−3

この変形は，次の割り算の結果を「割り算の原理」：A÷:B=Q...R ⇔ A=BQ+Rによって，掛け算と足し算で書き直したものです．
x2+2x+3

x2−3x+4 ) x4−x3+x2+x+9
x4−3x3+4x2

2x3−3x2+x
2x3−6x2+8x

3x2−7x+9
3x2−9x+12

2x−3

(3) x= $\frac{3+ \sqrt{7}i}{2}$ のとき，x2−3x+4=0だから
x4−x3+x2+x+9=(x2−3x+4)(x2+2x+3)+2x−3=2x−3

=2× $\frac{3+ \sqrt{7}i}{2}$ −3=3+ $\sqrt{7}$ i−3= $\sqrt{7}$ i …（答）

採点するやり直す解説を読む

$x=\frac{3-\sqrt{5}i}{2}\leftrightarrow 2x-3=-\sqrt{5}i$
$\rightarrow (2x-3)^2=(-\sqrt{3}i)^2\leftrightarrow 4x^2-12x+ 9=-5$
$\leftrightarrow 4x^2-12x+ 14=0\leftrightarrow 2x^2-6x+ 7=0$
ここで
2x3−8x2+13x−6=(2x2−6x+7)(x−1)+1
だから
2x3−8x2+13x−6=1…（答） →解説を隠す←

コメント