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• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • 確率 • ２次関数 • ２次不等式 • 集合・命題・条件・証明 • 正弦定理,余弦定理 《数学Ⅱ・Ｂ》 • 指数関数.対数関数 • 複素数 • 微分・積分 ♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，複素数の対称式，値の代入の「マイナーチェンジありカバー版」「広告なし」「パソコン用」ページです． ♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． |
■複素数の対称式，値の代入 x2+y2, x2y+xy2などのように文字x, yを入れ替えても式の値が変わらないものを対称式といいます． ２文字x, yの対称式の値を求めるときは，基本対称式x+yとxyで表すようにすると，簡単になり，間違いにくくなります．
【例題１】
x=2+i, y=2−iのとき，+の値を求めてください．
「力まかせに代入」するのではなく，基本対称式x+yとxyで表すようにします．
（解答）x+y=4, xy=7だから +==== |
○ ２文字x, yの場合に基本対称式x+yとxyで表す変形の例
x2+y2=(x+y)2−2xy
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y)((x+y)2−3xy) +=
【例題２】
（解答）x=, y=のとき，x3+y3の値を求めてください． x+y=+==1, xy====1 だから x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y){(x+y)2−3xy} =1·(1−3)=−2 |
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○ 「x=のとき，x4−x3+x2+x+9の値は？」 というような問題の場合において，力まかせにx4，x3などの値を求めようとすると計算量が多くなり，間違いやすくなります． このような問題では，
(1) x=が満たす方程式を作る．
という手順を踏むのが定石となっています．(2) 方程式の左辺で割り算して商と余りに分ける． (3) 求めるべき式の次数を下げてから代入する． （右の解説について：補足説明） (1)
この変形では⇒のところで同値関係が崩れていることに注意．すなわち，x=ならばx2−3x+4=0は成り立ちますが，x2−3x+4=0ならば，必ずしもx=とは言えず，x=の場合もあります．
(2)
通常，２乗すれば同値関係が崩れます． それゆえに，x2−3x+4=0の左辺は求める式の次数を下げることには利用できますが，それだけでは答案は完成できず，どちらの解であるのかを使わなければならないことがあります． たとえば，x=ならば，途中までは同じ答案になりますが，最後にxの値を代入したときに結果が変わります．
x2−3x+4が0になるのなら，この変形は0で割っているのではないかという疑問について
(3)
(2)の変形は「恒等式としての変形で，どのようなxに対しても成り立ちます．」すなわち，(2)において「割り算」ではなく掛け算の式を見る限り，矛盾はありません．  ⇒そんなことはありません．この変形ができるのはx2−3x+4=0すなわち x=またはx=のときだけです．他の値については他の式を使わなければなりません． |
【例】 (1) x= ⇔ 2x=3+i ⇔ 2x−3=i ⇒ (2x−3)2=7i2 ⇔ 4x2−12x+9=−7 ⇔ 4x2−12x+16=0 ⇔ x2−3x+4=0 (2) x4−x3+x2+x+9=(x2−3x+4)(x2+2x+3)+2x−3
この変形は，次の割り算の結果を「割り算の原理」：A÷:B=Q...R ⇔ A=BQ+Rによって，掛け算と足し算で書き直したものです．
(3) x=のとき，x2−3x+4=0だからx2+2x+3 x2−3x+4 ) x4−x3+x2+x+9 x4−3x3+4x2 2x3−3x2+x 2x3−6x2+8x 3x2−7x+9 3x2−9x+12 2x−3 x4−x3+x2+x+9=(x2−3x+4)(x2+2x+3)+2x−3=2x−3 =2×−3=3+i−3=i …（答） |
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