複素数の計算（問題）
【高校数学の目次】
《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算 　• 場合の数.順列.組合せ 　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 複素数　 • 微分・積分　

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■複素数の計算
■虚数単位iの導入
　根号を用いて２次方程式を解くには、x2=a⇒x=±という変形を行います。
　これによりx2=−1を解くと、x=±のように根号の中が負である数が登場します。
　同様にして、x2=−2　⇒　x=±
x2=−3　⇒　x=±
となりますが、「負の数のルート」を表す記号を１つずつ作らなくても１つだけi=と定めると、他の負の数のルートはすべてこのiで表すことができます。

【虚数単位iの定義】
　x2=−1の１つの解を虚数単位といい、iで表します。
すなわち
i= …(1)
i2=−1 …(2)
　さらに、x2−2x+5=0すなわち(x−1)2=−4のような２次方程式についても
x−1=±
x−1=±2i
x=1±2i
　一般に２次方程式を解くと、
(x−p)2=−q ⇒ x−p=±
x=p±
の形の数が登場します。（p , qは実数）
　そこでa+bi（a, bは実数）の形の数を考えれば，すべての２次方程式の解を表すことができます。このa+bi（a, bは実数）の形の数を複素数といい，aを実部，bを虚部といいいます。
 ■虚数単位i=を定義すると、負の数のルートはすべてこの虚数単位で表すことができます。
(1)　−=−i
(2)　=== i
(3)　=== i
(4)　===2i
(5)　=== i
(6)　=== i




※　負の数のルートについて，次のようなものは必ずしも等しいとはいえません．
×←××→
※　次の変形規則が自由に使えるのは，a>0, b>0の場合であり，それ以外の場合は必ずしも成り立つとは限りません．

（解説）
のとき
•は成り立つ
•

だから，は成り立つ
•

だから，は成り立つ
•

だから，は成り立たない
のとき
•は成り立つ
•

だから，は成り立つ
•

だから，は成り立たない
•

だから，は成り立つ
○　正しく変形するためには，「負の数のルートが登場したら，そのたびに虚数単位iで表すようにします．」
×=i×i=i2 =−
=
になります．
【問題１】
　次の式を計算してください．負の数のルートが登場するときは，虚数単位iを使って表してください．
（右の選択肢から選んでください.）
※クリックすれば解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．
(1)

5i −5i i −i ±i
(2)

9i −9i 3i −3i
(3)

12i −12i ±2i 2i
(4) −
18i −18i 3i −3i ±3i
(5)

6i −6 ±6i 216i −216i
【複素数の定義】
　a+bi　（a , bは実数）の形の数を複素数といい、aを実部、bを虚部という。（２つの要素から成り立っている数･･･複素数）
　複素数のうちで、特にb=0のものを実数という。
例　5+0iすなわち5は実数
　これに対してb≠0のものを虚数という。
例　5−3iは虚数
　複素数のうちで、特にa=0のものを純虚数という。
例　0+3iすなわち3iは純虚数

【複素数の計算規則】
(1)虚数単位iを含んだ式の和差積商は，普通の文字式におけるaやxと同じように，係数をまとめて簡単にしたり，展開，約分など行うことができます．
2a+3a=5aと同様に2i+3i=5iとできます．
(2+x)(3+x)=6+5x+x2と同様に(2+i)(3+i)=6+5i+i2とできます．
(x−2)2=x2−4x+4と同様に(i−2)2=i2−4i+4とできます．

それでは，虚数単位の定義はどうなったのかと心配になりますが，普通の文字とは次の点が異なります．

(2)虚数単位i2が登場したら−1に書き換えます．（登場するたびに書き換えてもよく，まとめて書き換えてもよい．）
(1+i)2=1+2i+i2=1+2i+(−1)=2i
i3=i2i=−i
i4=i2i2=(−1)×(−1)=1
上で求めたi3=−iの結果を使ってi4=i3i=−i×i=−(−1)=1としてもよい．（どの段階で−1に書き換えても同じになります．）
○　iを含む式は，最終的にa+bi (a, bは実数)の形になるように変形します．
例
(1+2i)+(3+4i)=4+6i
(1+2i)−(5+7i)=−4−5i
(1+2i)(1−3i)=1−i−6i2=1−i+6=7−i

○　iを分母に含む式は，無理数の分母の有理化と同様の変形（共役複素数を掛ける）により，分母を実数にします．
分母がa+bi ⇒ 分母分子にa−biを掛ける．
分母がa−bi ⇒ 分母分子にa+biを掛ける．
例
===
と同様にして
===−i
（※iで割ることが符号を変えることと同じ結果になり，奇妙に見えますが，
i2=−1だから=−i
が成り立ちます．）
====−1+
と同様にして
===
（i2=−1に注意）

※一般には，分母を２乗にしても実数にはできません．分母を実数にするためには，分母a+biの虚部の符号が逆のa−bi（共役複素数）を掛けなければなりません．
=== ←×
==== ←○
　iが付いていたら虚数，iが付いていなければ実数です．
　一番広い範囲のa+biの形で表される数が複素数です．

※正確に言えば
のような分数は，複素数としてa+bi (a, bは実数)の形で「実部と虚部に分けて表す」と
+i（a=, b=ということ）
になりますが，「いつでも分けられる」ということが分かるので，最終形として
は許容されます．



※これに対して，
や
のような式をそのまま放置しておいてはいけません．これらの式では，実部と虚部が分かりません．
【問題２】
　次の式を簡単にしてください．
（右の選択肢から選んでください.）
(1) (1−3i)−(2−5i)

−3+2i −1+2i −1−8i
−3−8i 13+11i −13−11i
(2) (2+3i)(1−i)
3+2i −1+5i 5+i 5−5i
(3) (1−i)2
0 2i −2i 2−2i
(4) i3+i4+i5+i6
0 2 4 2i 4i
(5)


1 2+3i 3+2i −2+3i −2−3i
(6)


2+4i 3+i 6+2i 6−2i
【複素数の相等】
a, b, c, dが実数のとき

○　２つの複素数が等しいのは，実部も虚部も等しいときに限る．
a+bi=c+di ⇔ a=cかつb=d…(1)
○　特に，
a+bi=0 ⇔ a=0かつb=0…(2)

（※複素数の等式１つは，実部と虚部に分けた１組の連立方程式と同じ値打があるということです．）
（解説）
(1)　実部だけが等しくても，２つの複素数が等しいとは言いません．
5+3i≠5+4i
虚部だけが等しくても，２つの複素数が等しいとは言いません．
4+3i≠5+5+3i
実部が少ない分を虚部が埋めわせることはできません．
3+5i≠5+3i
(2)　0+0iのとき，単に0と書きます．

※(1)から(2)，(2)から(1)のどちらも導けますので，どちらでやってもかまいません．
 【例】
　x, yが実数のとき，
x+3i=4+yiならばx=4かつy=3
(1)を使って，両辺の実部と虚部をそれぞれ比較すれば得られます．
ただし，(1)から(2)，(2)から(1)のどちらも導けますので，(2)でやってもかまいません．
たとえば，
x+3i=4+yi
⇔(x−4)+(3−y)i=0
⇔x−4=0かつ3−y=0
⇔x=4かつy=3
とすれば(2)で考えていることになります．

※x, yが実数という条件がなければ，この問題は解けません．
例えば
1)　x=−3i, y=4iのとき，(−3i)+3i=0, 4+4i2=0
　　となって，x+3i=4+yiが成り立ちます．
2)　x=4−3i, y=0のとき，(4−3i)+3i=4+0i
　　となって，x+3i=4+yiが成り立ちます．
*)　要するに，x, yが実数という条件がなければ，x+3i=4+yiを満たす複素数x, yは幾らでもあります．
【問題３】
　次の等式を満たす実数x, yを求めてください．
（右の選択肢から選んでください.）
(1) x+4i=5+yi

x=5, y=4 x=4, y=5
x=5, y=4i x=4i, y=5
(2) 3x+yi+(6−i)=0

x=2, y=1 x=2, y=−1
x=−2, y=1 x=−2, y=−1
(3) (−2+i)x+(3−i)y=−7+3i

x=2, y=1 x=2, y=−1
x=−2, y=1 x=−2, y=−1
(4) (x+yi)(2−3i)=−7−9i

x=1, y=3 x=1, y=−3
x=−1, y=3 x=−1, y=−3
【問題４】　（実係数方程式の虚数解）
　x=2−iが２次方程式x2+ax+b=0の解となるように実数a, bの値を定めてください．
（右の選択肢から選んでください.）

a=4, b=5 a=4, b=−5
a=−4, b=5 a=−4, b=−5
【問題５】　（実係数方程式の虚数解）
　x=1+iが３次方程式x3+ax+b=0の解となるように実数a, bの値を定めてください．
（右の選択肢から選んでください.）

a=2, b=4
a=2, b=−4
a=−2, b=4
a=−2, b=−4
【問題６】　（複素係数方程式の実数解）
　２次方程式x2+(a+2i)x−(4+8i)=0が実数解をもつように実数aの値を定めてください．
（右の選択肢から選んでください.）

a=2
a=−2
a=3
a=−3
a=4
a=−4
　

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