高校数学.複素数（数学Ⅱ）

複素数の計算（問題）

【高校数学の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明　• 正弦定理,余弦定理
《数学Ⅱ・Ｂ》
• 指数関数.対数関数　 • 複素数　 • 微分・積分　

《高校数学Ⅱ / 複素数の目次》　　　が現在地 • 複素数の定義　 • 複素数の計算　 • 複素数の計算規則 • 複素数の対称式，値の代入 • 複素数のいろいろな問題　 • １の虚数3乗根ω　 • 実係数方程式の虚数解　

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，複素数の計算規則の「マイナーチェンジありカバー版」「広告なし」「パソコン用」ページです．
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【複素数の計算規則1】
•　虚数単位iを含む式は，通常の文字式におけるa, b , c, x, yなどと同じように同類項の係数をまとめたり，和差積商の計算を行ったりすることができる．
•　ただし，i2が登場すれば，−1に置き換える．
•　最終形は，a+bi，すなわち実部+虚部iの形で書く．

•　ただし， $\frac{3+ 4i}{5}$ のように，実部・虚部が「見たらわかる」形になっている物は，厳格に $\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$ の形に直さなくてもよい．
•　もっと些末なことを言えば，3−4iのような式も，厳格に3+(−4)iの形に直してなくても，「必要に応じて実部と虚部に分けられる」ことが推定できれば，マイナスのままでもよい．

【問題1】次の複素数を計算して簡単にしてください．

正しい選択肢をクリックしてください．選択肢をクリックすれば，解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．

(1)
(3+5i)−(−2+3i)

−1+i −1+2i −1−3i

5+2i 5+3i
解説を見る

(3+5i)−(−2+3i)=3+5i+2−3i
=5+2i…（答）
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(2)
(2−3i)−(3−5i)

−1+i −1+2i −1−3i

5+2i 5+3i
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(2−3i)−(3−5i)=2−3i−3+5i
=−1+2i…（答）
→解説を隠す←

(3)
i2

1 −1 i −i
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i2=−1…（答）
→解説を隠す←

(4)
i3

1 −1 i −i
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i3=i2×i=−i…（答）
→解説を隠す←

(5)
i4

1 −1 i −i
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i4=i2×i2=1×1=1…（答）
　なお，(4)の結果を用いて，次のように計算しても，同じ答になる
i4=i3×i=(−i)×i=−i2=1
i4=i×i3=i×(−i)=−i2=1
→解説を隠す←

(6)
i5

1 −1 i −i
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i5=i2×i2×i=1×1×i=i…（答）
　なお，(4)や(5)の結果を用いて，次のように計算しても，同じ答になる
i5=i4×i=1×i=i
i5=i3×i2=(−i)×(−1)=i
→解説を隠す←

(7)
i (1+i)

−1+i −1+2i −1−3i

5+2i 5+3i
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i (1+i)=i+i2=i−1=−1+i…（答）
　 →解説を隠す←

(8)
(1+i)2

2 −2 2i −2i
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(1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i…（答）
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気を付けよう！甘い言葉と暗い道

　 $\frac{1+ 2i}{3+ 5i}$ のように，分母に虚数を含んでいる式を
「実部と虚部に分けてください」と言ったとき，ビックリ答案に遭遇することがある
$\frac{1}{3}+\frac{2}{5}i$
# これは，全然だめです
# 越えてはいけない一線（真ん中の線）を勝手に越えてしまっている
# アイ（i）はどうなっているんだと言わざるを得ない

【複素数の計算規則2】
　分母に虚数（iを含む式）がある分数を変形するには，次の例(A)(B)のように「分母の共役複素数を，分母と分子に掛ける」とよい

(A)
$\frac{1}{2i}$

$\frac{1}{2i}=\frac{-2i}{2i\times(-2i)}=\frac{-2i}{4}=-\frac{i}{2}$

（参考：以下の説明の重要度=低）
　上記の計算において，分母2iの共役複素数が−2iだから，これを分母と分子に掛けると，分数の全体について実部と虚部が分かる形になるということです．
　少し考えれば分かるように，この変形は，無理数の分母の有理化とよく似た理屈になっていて， $\frac{1}{\sqrt{2}}$ には，分母と分子に $\sqrt{2}$ を掛ければよいから， $\frac{1}{2i}$ には，分母と分子に $2i$ を掛ければよいと考えることもできる．
　ただ，そうすると分母が一度負の数になるので，初めから「共役複素数を掛ける」という形で定式化しておくと，二度手間になるのを防げる．

(B)
$\frac{2}{3+ 4i}$

$\frac{2}{3+ 4i}=\frac{2(3-4i)}{(3+ 4i)(3-4i)}=\frac{6-8i}{3^2-4^2i^2}$
$=\frac{6-8i}{9+ 16}=\frac{6-8i}{25}$

（参考：以下の説明の重要度=高）
　上記の計算の代わりに，分母と分子に3+4iを掛けてもダメです．
$\frac{2}{3+ 4i}=\frac{2(3+ 4i)}{(3+ 4i)^2}=\frac{6+ 8i}{9+ 24i+ 16i^2}$
のように変形すると
$=\frac{6+ 8i}{-7+ 24i}$
となって，分母のiが消えないので，この変形はだめです．
　要約すれば，分母がa+biの場合は，虚部の符号を変えたものa−biを分母分子に掛ける．分母がa−biの場合は，虚部の符号を変えたものa+biを分母分子に掛ける．要するに「分母の共役複素数を分母と分子に掛ける」という形にまとめることができ，これを公式として覚えるということです．

【問題2】次の複素数を計算して簡単にてください．

正しい選択肢をクリックしてください．選択肢をクリックすれば，解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．

(1)
(2+3i)2

−5+12i 5+12i

13+12i 13−12i
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(2+3i)2=4+12i+9i2
=4+12i−9=−5+12i…（答）
→解説を隠す←

(2)
(1+2i)2+(1−2i)2

−6 −6+8i

6+8i 8+8i
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(1+2i)2+(1−2i)2=1+4i+4i2+1−4i+4i2
=1+4i−4+1−4i−4=−6…（答）
→解説を隠す←

(3)
(1+i)3

1+i −4 4i

2+2i −2+2i
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(1+i)3=1+3i+3i2+i3
=1+3i−3−i=−2+2i…（答）
→解説を隠す←

(4)
(1+i)(1−2i)(1+3i)

−6 −6+8i

6+8i 8+8i
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(1+i)(1−2i)(1+3i)=(1+i)(1+i−6i2)
=(1+i)(7+i)=7+8i+i2=7+8i−1=6+8i…（答）
→解説を隠す←

(5)
i20

0 −1 1 i −i
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i20=(i2)10
=(−1)10=1…（答）
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(6)
$i+ \frac{1}{i}$

0 −1 1 i −i
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$\frac{1}{i}$ の分母と分子に，分母iの共役複素数−iを掛けて，分母を実数化します
$i+ \frac{1}{i}=i+\frac{-i}{i\times(-i)}=i+\frac{-i}{-i^2}$
$=i+\frac{-i}{1}=i-i=0$ …（答）
→解説を隠す←

(7)
$\frac{1-i}{1+ i}+ \frac{1+ i}{1-i}$

0 −1 1 i −i
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それぞれの分数に分母の共役複素数を掛けて，分母を実数化します（この問題では，結果的に通分していることと同じ変形になりますが，3個以上の分数の場合を考えてみると，これらは同じ変形ではない．ここで行っているのは「1つずつ分母を実数化する」変形です）
$\frac{1-i}{1+ i}+ \frac{1+ i}{1-i}=\frac{(1-i)^2}{(1+ i)(1-i)}+ \frac{(1+ i)^2}{(1-i)(1+ i)}$
$=\frac{(1-i)^2}{1-i^2}+ \frac{(1+ i)^2}{1-i^2}=\frac{1-2i+ i^2}{2}+ \frac{1+ 2i+ i^2}{2}$
$=\frac{-2i}{2}+ \frac{2i}{2}=0$ …（答）
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(8)
$\frac{1}{i^3}$

0 −1 1 i −i
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$\frac{1}{i^3}=\frac{1}{i^2\times i}$
$=\frac{1}{-i}=\frac{i}{-i\times i}=i$ …（答）
※分母の形を整えてから（簡単にしてから），共役複素数を掛ければよい．（分母分子にi3を掛ける必要はない…掛けても間違いではないが，遠回り過ぎの感あり） →解説を隠す←

(9)
$\frac{2i}{1+ i}$

1+i −4 4i

2+2i −2+2i
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$\frac{2i}{1+ i}=\frac{2i(1-i)}{(1+ i)(1-i)}$
$=\frac{2i-2i^2)}{1-i^2}=\frac{2+ 2i}{2}=1+ i$ …（答）
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(10)
$\frac{2}{(1-i)^2}$

0 −1 1 i −i
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$\frac{2}{(1-i)^2}=\frac{2}{1-2i+ i^2}=\frac{2}{-2i}$
$=\frac{1}{-i}=\frac{i}{-i\times i}=i$ …（答）
→解説を隠す←

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